Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-03-2023 Tổng hợp kiến thức

278

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy

Bài 38: Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và là điểm đối xứng của S qua O. Tính thể tích của khối chóp S'.MNPQ

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) (ảnh 26)

Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA.

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Ta có: $S_{M N P Q} = 4 S_{G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}} = 4. \frac{4}{9} . S_{E F G H} = 4. \frac{4}{9} . \frac{1}{2} . E G . H F = \frac{8 a^{2}}{9} .$

Mặt khác:

$\begin{array}{l} d (S^{'}, (M N P Q)) = d (S^{'}, (A B C D)) + d (O, (M N P Q)) \\ = d (S, (A B C D)) + 2 d (O, (G_{1} G_{2} G_{3} G_{4})) \\ = d (S, (A B C D)) + \frac{2}{3} d (S, (A B C D)) \\ = \frac{5}{3} d (S, (A B C D)) = \frac{5 a \sqrt{14}}{6} . \end{array}$

Vậy thể tích của khối chóp S'.MNPQ là:

$V_{S^{'} . M N P Q} = \frac{1}{3} . \frac{5 a \sqrt{14}}{6} . \frac{8 a^{2}}{9} = \frac{20 a^{3} \sqrt{14}}{81} .$