Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-03-2023 Tổng hợp kiến thức

224

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a

Bài 58: Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $S A = S B = S C = a,$ cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S. ABCD là bao nhiêu?

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) (ảnh 37)

Gọi I là tâm của hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt (ABCD).

Ta có $S A = S B = S C$ nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay $H \in B I .$

Ta có: $S I^{2} = S A^{2} - I A^{2} = a^{2} - I A^{2}, I B^{2} = A B^{2} - I A^{2} = a^{2} - I A^{2} \Rightarrow S I = I B .$

Khi đó tam giác SBD vuông tại S. Giả sử $S D = x .$ Ta có

$S B . S D = S H . B D \Leftrightarrow a . x = S H . B D \Leftrightarrow S H = \frac{a . x}{B D} .$

Ta có: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . \frac{1}{2} A C . B D = \frac{1}{3} \frac{a . x}{B D} . \frac{1}{2} A C . B D = \frac{1}{6} a . x . A C .$

Ta có:

$B D^{2} = S B^{2} + S D^{2} = a^{2} + x^{2} \Rightarrow I B^{2} = \frac{a^{2} + x^{2}}{4} \Rightarrow I A^{2} = a^{2} - \frac{a^{2} + x^{2}}{4} = \frac{3 a^{2} - x^{2}}{4} .$