Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau

Ngọc Nguyễn Ngày: 14-03-2023 Tổng hợp kiến thức

311

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 3) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau

Bài 20: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có $B C = 3, \hat{B A C} = 30^{0} .$ Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải: Xét bài toán: Tam giác ABC, điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là:

$b^{2} + c^{2} = 5 a^{2} .$

Ta có: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến BM, CN. Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 3) (ảnh 10)

$G B^{2} = \frac{4}{9} B M^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}); G C^{2} = \frac{4}{9} C N^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2})$

Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông BGC, ta có: $B G^{2} + C G^{2} = B C^{2}$

Khi đó ta có:

$\frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) + \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}) = a^{2} \Leftrightarrow 4 a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 a^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = 5 a^{2} .$

Quay trở lại bài toán trên, xét tam giác ABC ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A = 5 a^{2} - 2 b c . \cos A \Rightarrow b c = \frac{2 a^{2}}{\cos A} .$

Khi đó: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} \frac{2 a^{2}}{\cos A} . \sin A = a^{2} \tan A = 3 \sqrt{3} .$