Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b

Ngọc Nguyễn Ngày: 20-05-2023 Tổng hợp kiến thức

550

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 10) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b

Câu 16: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b. G là trọng tâm. Chứng minh:GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 10) (ảnh 3)

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{B M} + \vec{A C} + \vec{C M}) = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) \\ \Rightarrow A G^{2} = \frac{1}{9} (A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2}) = \frac{1}{9} (b^{2} + 2 b c . \cos A + c^{2}) \\ = \frac{1}{9} (b^{2} + 2 b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + c^{2}) = \frac{1}{9} (2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}) \end{array}$

Tương tự, ta có:

$G B^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}); G C^{2} = \frac{1}{9} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2})$

Do đó, GA² + GB² + GC² = $\frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$