Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1

Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1 - 1/2sin2x

Ngọc Nguyễn Ngày: 22-05-2023 Tổng hợp kiến thức

129

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 14) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1 - 1/2sin2x

Câu 38: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x$ .

Lời giải:

Phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x$ có nghĩa x ∈ ℝ ⟺ D = ℝ.

Ta có: $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x$ ⟺ sinx + cosx +sinxcosx – 1 = 0 (1)

Đặt t = sinx +cosx, $(|t| \leq \sqrt{2})$ . Ta có sinxcosx = $\frac{t^{2} - 1}{2}$

⇒ (1) ⟺ $t + \frac{t^{2} - 1}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 \\ t = - 3 \end{matrix}$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên t = 1

Với t = 1, ta có t = sinx + cosx = $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{matrix}, k \in ℤ$