Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 25) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Không giải phương trình, tìm các nghiệm số của phương trình x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0
Câu 51: Không giải phương trình, tìm các nghiệm số của phương trình x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0, biết rằng các nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Lời giải:
Giả sử phương trình x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0 có ba nghiệm tạo thành cấp số cộng:
a – d; a; a + d (với d ≠ 0).
Khi đó ta có: (a – d)3 – 15(a – d)2 + 71(a – d) – 105 = 0 (1)
a3 – 15a2 + 71a – 105 = 0 (2)
(a + d)3 – 15(a + d)2 + 71(a + d) – 105 = 0 (3)
Từ (1) ta có:
a3 – 3a2d + 3ad2 – d3 – 15a2 + 30ad – 15d2 + 71a – 71d – 105 = 0
Þ – 3a2d + 3ad2 – d3 + 30ad – 15d2 – 71d = 0 (do a3 – 15a2 + 71a – 105 = 0) (*)
Tương tự từ (3) ta có: 3a2d + 3ad2 + d3 – 30ad – 15d2 + 71d = 0 (**)
Cộng (*) với (**) ta được:
6ad2 – 30d2 = 0 Û 6d2(a – 5) = 0
Vì d ≠ 0 nên ta có a – 5 = 0 Û a = 5.
Vì a = 5 là một nghiệm của phương trình đã cho nên vế trái của phương trình chia hết cho (x – 5).
Do đó theo sơ đồ Horner ta có:
x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0
Û (x – 5)(x2 – 10x + 21) = 0
Û (x – 5)(x2 – 10x + 21) = 0
Û (x – 5)(x – 3)(x – 7) = 0
Û x = 3 hoặc x = 5 hoặc x = 7.
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: .
Bài viết cùng bài học:
