Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh a / b^3 - 1 + b / a^3 -1 = 2 (ab-2) / a^2b^2 + 3

Ngọc Nguyễn Ngày: 19-07-2023 Tổng hợp kiến thức

237

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 25) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh a / b^3 - 1 + b / a^3 -1 = 2 (ab-2) / a^2b^2 + 3

Câu 35: Cho a + b = 1 và ab ≠ 0. Chứng minh $\frac{a}{b^{3} - 1} + \frac{b}{a^{3} - 1} = \frac{2. (a b - 2)}{a^{2} b^{2} + 3}$ .

Lời giải:

Với a + b = 1 và ab ≠ 0 ta có:

$\frac{a}{b^{3} - 1} + \frac{b}{a^{3} - 1} = \frac{a (a^{3} - 1) + b (b^{3} - 1)}{(a^{3} - 1) . (b^{3} - 1)} = \frac{a^{4} + b^{4} - (a + b)}{a^{3} b^{3} - (a^{3} + b^{3}) + 1} = \frac{(a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2}) - 1}{a^{3} b^{3} - [{(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)] + 1} = \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 a^{2} b^{2} - 1}{a^{3} b^{3} - 1 + 3 a b + 1} = \frac{{[{(a + b)}^{2} - 2 a b]}^{2} - 2 a^{2} b^{2} - 1}{a^{3} b^{3} + 3 a b} = \frac{1 - 4 a b + 4 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} b^{2} - 1}{a b (a^{2} b^{2} + 3)} = \frac{2 a^{2} b^{2} - 4 a b}{a b (a^{2} b^{2} + 3)} = \frac{2 a b (a b - 2)}{a b (a^{2} b^{2} + 3)} = \frac{2 (a b - 2)}{a^{2} b^{2} + 3}$