Giải phương trình sau sin^8x + cos^8x = 1/8

Ngọc Nguyễn Ngày: 07-06-2023 Tổng hợp kiến thức

175

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 29) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Giải phương trình sau sin^8x + cos^8x = 1/8

Câu 25: Giải phương trình sau: $\sin^{8} x + c o s^{8} x = \frac{1}{8}$ .

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin^{2} x + c o s^{2} x = 1 \\ \Rightarrow \sin^{4} x + c o s^{4} x = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x . c o s^{2} x \\ = 1 - 2 \sin^{2} x . c o s^{2} x \\ \Rightarrow \sin^{8} x + c o s^{8} x = {(\sin^{4} x + c o s^{4} x)}^{2} - 2 \sin^{4} x . c o s^{4} x \\ = 1 + \sin^{4} x . c o s^{4} x - 4 \sin^{2} x . c o s^{2} x \\ = 1 + 2 \sin^{2} x . c o s^{2} x . (\sin^{2} x . c o s^{2} x - 2) \\ = 1 + \frac{\sin^{2} 2 x}{2} . (\frac{\sin^{2} 2 x}{4} - 1) \end{array}$

Đặt t = sin²2x (0 < t < 1)

Phương trình đã cho có dạng:

$\begin{array}{l} 1 + \frac{t}{2} (\frac{t}{4} - 2) = \frac{1}{8} \\ \Leftrightarrow 8 + t^{2} - 8 t = 1 \\ \Leftrightarrow t^{2} - 8 t + 7 = 0 \\ \Rightarrow (t - 1) (t - 7) = 0 \\ \Leftrightarrow t = 1 (T M) \end{array}$