Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 37) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + 5y2 + 6z2 + 2xy – 4xz = 10.
Câu 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + 5y2 + 6z2 + 2xy – 4xz = 10.
Lời giải:
x2 + 5y2 + 6z2 + 2xy – 4xz = 10
⇔ x2 + y2 + 4z2 + 2xy – 4xz – 4yz + 4y2 + 4yz + z2 + z2 = 10
⇔ (x + y – 2z)2 + (2y + z)2 + z2 = 10 (1)
Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)2, (2y + z)2, z2 là các số chính phương.
Ta có 10 = 0 + 1 + 9.
Trường hợp 1: z2 = 0 ⇔ z = 0.
Khi đó ta có (2y)2 = 1 hoặc (2y2) = 9.
Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.
Trường hợp 2: (2y + z)2 = 0 ⇔ z = –2y.
Suy ra z2 = (–2y)2 = 1 hoặc z2 = (–2y)2 = 9.
Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.
Trường hợp 3: (x + y – 2z)2 = 0.
Khi đó phương trình (1) tương đương với:
Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3); (–8; 2; –3); (–2; 4; 1); (–7; 5; –1)}.
Bài viết cùng bài học:
