Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 45) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Câu 18: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x3 – (x + y + z)2 = (y + z)3 + 34.
Lời giải:
Đặt y + z = a với a ∈ ℤ, a ≥ 2 ta có:
x3 – (x + a)2 = a3 + 34
⇔ x3 – a3 = (x + a)2 + 34 (1)
⇔ (x – a)(x2 + xa + a2) = x2 + 2xa + a2 + 34 (2)
⇔ (x2 + xa + a2)(x – a – 1) = xa + 34
Vì x, a nguyên dương nên x2 + xa + a2 > 0 và xa + 34 > 0
Suy ra x – a – 1 > 0 hay x – a ≥ 2
Kết hợp với (2) suy ra x2 + 2xa + a2 + 34 ≥ 2(x2 + xa + a2)
⇔ x2 + a2 ≤ 34
⇔ x2 ≤ 34 ⇔ x < 6
Mà x ≥ a + 2 ≥ 4 nên x ∈ {4; 5}
– Xét x = 5, từ x2 + a2 ≤ 34 suy ra a ≤ 3, kết hợp a ∈ ℤ, a ≥ 2 (theo cách đặt) ta được a ∈ {2; 3}.
• Với x = 5, a = 2 thay vào (1) không thỏa mãn.
• Với x = 5, a = 3 thỏa mãn (1) và được y = 1; z = 2 hoặc y = 2; z = 1.
– Xét x = 4, từ x – a ≥ 2 suy ra a ≤ 2 (mà a = 2 loại vì không thỏa mãn (1))
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x; y; z) ∈ {(5; 1; 2); (5; 2; 1)}.
Bài viết cùng bài học:
