Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 48) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Tìm tất cả số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố
Câu 25: Tìm tất cả số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.
Lời giải:
Trường hợp 1: p chẵn
Vì p là số nguyên tố chẵn nên nó chỉ có thể là 2, nhưng 2 không thể là tổng 2 số nguyên tố vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất .
⇒ p không tồn tại
Trường hợp 2: p lẻ
Giả sử p = m + n ( m,n là số nguyên tố ). Mà p lẻ ⇒ trong m và n có 1 lẻ, 1 chẵn
Nếu m là số lẻ, n là số chẵn ⇒ n = 2 ⇒ p = m + 2 ⇒ m = p – 2 (1)
Tương tự, p = q – r ( q, r là số nguyên tố ).
Vì p là số lẻ ⇒ trong q và r có 1 lẻ, 1 chẵn
Xét q chẵn ⇒ q = 2 ⇒ p = 2 – r < 0 ( loại )
Vậy q là số lẻ , r là số chẵn ⇒ r = 2 ⇒ p = q – 2 ⇒ q = p + 2 (2)
Từ (1) , (2) ta thấy p – 2 ; p ; p + 2 là 3 số nguyên tố lẻ (3)
+ Nếu p < 5 ⇒ p – 2 < 3 ⇒ p – 2 không thể là số nguyên tố lẻ
+ Nếu p = 5 ⇒ (3) thỏa mãn ⇒ p = 5 .
+ Nếu p > 5 ⇒ p – 2 ; p ; p + 2 đều lớn hơn 3
+ Nếu p – 2 chia 3 dư 1 thì p chia hết cho 3 ⇒ p không phải số nguyên tố (loại)
+ Nếu p–2 chia 3 dư 2 thì p + 2 chia hết cho 3 ⇒ p + 2 ko phải số nguyên tố (loại)
⇒ p chỉ có thể là 5
Vậy p = 5.
Bài viết cùng bài học:
