Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 68) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Chứng minh rằng n^7 – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên
Câu 40: Chứng minh rằng n7 – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.
Lời giải:
Ta có n7 – n = n(n6 – 1)
= n(n3 – 1)(n3 + 1)
= n(n – 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2 – n + 1)
= n(n2 – 1)(n2 + n + 1)(n2 – n + 1)
Nếu n = 7k (k ∈ ℤ) thì n ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Nếu n = 7k + 1 (k ∈ ℤ) thì n2 – 1 = 49k2 + 14k ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Nếu n = 7k + 2 (k ∈ ℤ) thì n2 + n + 1 = 49k2 + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Nếu n = 7k + 3 (k ∈ ℤ) thì n2 – n + 1 = 49k2 + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Nếu n = 7k + 4 (k ∈ ℤ) thì n2 + n + 1 = 49k2 + 35k + 21 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Nếu n = 7k + 5 (k ∈ ℤ) thì n2 – n + 1 = 49k2 + 70k + 21 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Nếu n = 7k + 6 (k ∈ ℤ) thì n2 – 1 = 49k2 + 84k + 35 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7
Vậy n7 – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.
Bài viết cùng bài học:
