Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 76) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau
Câu 20: Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a2b2 + b2c2 + c2a2 là số chính phương.
Lời giải:
Giả sử a, b, c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng a = 2k – 1, b = 2k + 1, c = 2k + 3, với k ∈ ℕ.
Khi đó bộ ba số tự nhiên (a, b, c) nguyên tố cùng nhau.
Ta có n = a2b2 + b2c2 + c2a2
= (2k – 1)2(2k + 1)2 + (2k + 1)2(2k + 3)2 + (2k + 3)2(2k – 1)2
= (4k2 – 1)2 + (2k + 3)2.[(2k + 1)2 + (2k – 1)2]
= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).[(2k + 1 + 2k – 1)2 – 2(2k + 1)(2k – 1)]
= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).[16k2 – 2(4k2 – 1)]
= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).(8k2 + 2)
= 16k4 – 8k2 + 1 + 32k4 + 8k2 + 96k3 + 24k + 72k2 + 18
= 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 + 1.
Ta có 48; 96; 72; 24; 18 đều chia hết cho 3.
Suy ra 48k4; 96k3; 72k2; 24k; 18 đều chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.
Khi đó tổng 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 chia hết cho 3, với k ∈ ℕ.
Vì vậy 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 + 1 chia cho 3 dư 1, với k ∈ ℕ.
Suy ra n là số chính phương.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài viết cùng bài học:
