Tính giá trị nhỏ nhất của A= 1/a + 1/b+ 1/c với a,b,c >0 và a+b+c = 3abc

Ngọc Nguyễn Ngày: 14-03-2023 Tổng hợp kiến thức

253

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 5) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tính giá trị nhỏ nhất của A= 1/a + 1/b+ 1/c với a,b,c >0 và a+b+c = 3abc

Bài 29: Tính giá trị nhỏ nhất của $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ với a, b, c > 0 và $a + b + c = 3 a b c$

Lời giải:

Từ điều kiện

$a + b + c = 3 a b c \Rightarrow A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{a b + b c + a c}{a b c} = \frac{3 (a b + b c + a c)}{a + b + c}$ (1)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM

$\begin{array}{l} a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} \geq a b c (a + b + c) \\ \Leftrightarrow {(a b + b c + a c)}^{2} \geq 3 a b c (a + b + c) = {(a + b + c)}^{2} \\ \Leftrightarrow a b + b c + a c \geq a + b + c (2) \end{array}$