Cho 2^n-1 là số nguyên tố. Chứng minh n cũng là số nguyên tố.

Ngọc Nguyễn Ngày: 19-07-2023 Tổng hợp kiến thức

396

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 5) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho 2^n-1 là số nguyên tố. Chứng minh n cũng là số nguyên tố.

Bài 49: Cho $2^{n} - 1$ là số nguyên tố. Chứng minh n cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

Giải thích các bước giải:

Giả sử n là hợp số $\to n = p . q (p, q \in N; p, q > 1)$

Khi đó $2^{n} - 1 = 2^{p} q - 1 = {(2^{p})}^{q} - 1 = (2^{p} - 1) {(2^{p})}^{q} - 1 + {(2^{p})}^{q} - 2 + ... + 1)$

Vì $p > 1 \Rightarrow 2^{p} - 1 > 1$ và ${(2^{p})}^{q} - 1 = {(2^{p})}^{q} - 2 + ... + 1 > 1$
Dẫn đến $2^{n} - 1$ là hợp số: trái với giả thiết $2^{n} - 1$ là số nguyên tố