Tìm hệ số của x6 trong khai triển sau

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-03-2023 Tổng hợp kiến thức

409

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tìm hệ số của x6 trong khai triển sau

Bài 25: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với $x \neq 0,$ biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện ${3C}_{n +1}^{2} {+nP}_{2} {=4A}_{n}^{2}$

A.210.

B.252.

C.120.

D.45.

Lời giải:

Điều kiện: $n \geq 2.$ Ta có

$\begin{array}{l} {3C}_{n +1}^{2} {+ nP}_{2} {= 4A}_{n}^{2} \\ \Leftrightarrow 3. \frac{(n+1)!}{(n-1)!.2!} + 2n = 4. \frac{n!}{(n-2)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3}{2} n (n + 1) + 2n = 4n (n-1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 (n + 1) + 4 = 8 (n-1) \\ \Leftrightarrow 3n + 3 + 4 = 8n - 8 \\ \Leftrightarrow 5n = 15 \\ \Leftrightarrow n = 3. \end{array}$

Với n = 3, theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${(\frac{1}{x} {+x}^{3})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 - k} . {(x^{3})}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . \frac{x^{3k}}{x^{10 - k}} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {.x}^{4k - 10} .$