Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng 90

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-03-2023 Tổng hợp kiến thức

234

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng 90

Bài 47: Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng $90^{0},$ góc ACB bằng $30^{0},$ tam giác BCC' đều cạnh a, mặt phẳng (ACC'A') vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 2) (ảnh 32)

Do $(A C C^{'} A^{'}) ⊥ (A B C D)$ nên kẻ $C^{'} H ⊥ A C \Rightarrow C^{'} H ⊥ (A B C D) .$ Do $C^{'} B = C^{'} C$ nên $H B = H C$

$\Rightarrow H I ⊥ B C$ (với I là trung điểm của BC).

Ta có: $H I = I C . \tan \hat{H C I} = \frac{a}{2} \tan 30^{0} = \frac{a \sqrt{3}}{6} .$

Tam giác $C^{'} H I$ vuông tại H nên ta có:

$C^{'} H = \sqrt{C^{'} I^{2} - H I} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{6})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Tam giác vuông ABC có $\hat{A C B} = 30^{0} \Rightarrow A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}, A B = \frac{a}{2} .$

Vậy thể tích của lăng trụ đã cho là: $V = S_{A B C D} . C^{'} H = \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$