Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số

Ngọc Nguyễn Ngày: 14-03-2023 Tổng hợp kiến thức

206

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 3) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số

Bài 57: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Điều kiện $m \neq 0$

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng (1) với các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $A (x_{1}; 0), B ({0; y}_{2}) .$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} {0 = mx}_{1} + 1 \\ {m . 0 + 1 = y}_{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = - \frac{1}{m} \\ y_{2} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} A(- \frac{1}{m}; 0) \\ B(0; 1) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} OA = |- \frac{1}{m}| = \frac{1}{|m|} \\ OB = |1| = 1 \end{matrix}$

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng (1) $\Rightarrow OH = \frac{2}{\sqrt{5}} .$

Khi đó ta có vuông tại O và có đường cao OH.

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại O và có đường cao OH ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{OH}^{2}} = \frac{1}{{OA}^{2}} + \frac{1}{{OB}^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}} = \frac{1}{{|x_{1}|}^{2}} + \frac{1}{{|y_{2}|}^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{5}{4} = \frac{1}{{(- \frac{1}{m})}^{2}} + \frac{1}{1^{2}} \Leftrightarrow \frac{5}{4} {= m}^{2} + 1 \\ \Leftrightarrow {5 = 4m}^{2} + 4 \Leftrightarrow {4m}^{2} = 1 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = ± \frac{1}{2} (tm) \end{array}$