Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC.

Ngọc Nguyễn Ngày: 14-03-2023 Tổng hợp kiến thức

286

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 4) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC.

Bài 25: Cho $Δ$ ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh A, E, D thẳng hàng và BCED là hình thang.

b) Chứng minh $BD . CE = \frac{{DE}^{2}}{4}$ .

c) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính DE và diện tích $Δ$ DHE.

Lời giải:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 4) (ảnh 11)

a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên $Δ A D H$ cân tại A

$Δ A D H$ có AB là đường cao đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \hat{DAB} = \hat{HAB}$

Tương tự với $Δ A H E \Rightarrow \hat{HAC} = \hat{EAC}$

Ta có :

$\hat{DAE} = (\hat{DAH}) + (\hat{HAE}) = 2. (\hat{BAH}) + 2. (\hat{HAC}) = 2. (\hat{BAH} + \hat{HAC}) = 2.90 = 180$

$\Rightarrow$ D, A, E thẳng hàng

Nhận thấy

$Δ A H C$ đối xứng với $Δ A E C$ qua đoạn thẳng AC $\Rightarrow \hat{AHC} = \hat{AEC} {= 90}^{0}$ (1)

Tương tự , ta cũng có : $\hat{BHA} = \hat{BDA} {= 90}^{0}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)

b) Ta có : $Δ B H A$ đồng dạng với $Δ A H C$

Suy ra tỷ lệ $\frac{BH}{AH} = \frac{AH}{HC} \Leftrightarrow {AH}^{2} = BH . HC$

Mà BH = BD , HC = CE

$\Rightarrow {AH}^{2} = BD . CE \Leftrightarrow {4AH}^{2} = 4BD . CE$

$\Leftrightarrow {(2AH)}^{2} = 4BD . CE$ (Do AD = AH = AE)

$\Leftrightarrow {DE}^{2} = 4BD . CE$ .

c) Ta có: AD = AH (tính chất đối xứng), AH = AE (tính chất đối xứng)

Suy ra AD = AE mà A, D, E thẳng hàng nên A là trung điểm của DE.

Xét tam giác vuông ABC, vuông tại A, có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} = \frac{25}{144} \Rightarrow A H = \frac{12}{5}$

$\Rightarrow A D = A E = A H = \frac{12}{5}$

⇒ DE = $\frac{24}{5}$ cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$\tan \hat{A B C} = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3} \Rightarrow \sin \hat{A B C} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin \hat{A D H} = \frac{4}{5}$

Xét tam giác DHE vuông tại H, có:

$\sin \hat{A D H} = \frac{E H}{E D} = \frac{E H}{\frac{24}{5}} = \frac{4}{5} \Rightarrow E H = \frac{96}{25} \Rightarrow D H = \frac{72}{25}$

Vậy diện tích tam giác DEH là: $\frac{1}{2} D H . E H = \frac{1}{2} . \frac{96}{25} . \frac{72}{25} \approx 5,5$ (đvdt).

Từ khóa :

Giải bài tập

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

249

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

286

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

308

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

258