Cho tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Ngọc Nguyễn Ngày: 04-04-2023 Tổng hợp kiến thức

238

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 6) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 42: Cho tam giác ABC thỏa $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b c} + \frac{2 r}{R} = 4$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

Ta có: $S = \frac{a b c}{4 R} = p r = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$\Rightarrow S^{2} = \frac{a b c . p r}{4 R} = p (p - a) (p - b) (p - c)$

$\Rightarrow \frac{2 r}{R} = \frac{8 p (p - a) (p - b) (p - c)}{a b c p}$

$\Rightarrow \frac{2 r}{R} = \frac{(a + b - c) (b + c - a) (c + a - b)}{a b c}$ .

Theo giả thiết ta có: $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b c} + \frac{2 r}{R} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{a b c} + \frac{(a + b - c) (b + c - a) (a + c - b)}{a b c} = 4$

⇔ a³ + b³ + c³ + (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b) = 4abc

⇔ a²b + ab² + b² c + bc² + c²a + ca² = 6abc (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a²b + ab² + b² c + bc² + c²a + ca² ≥ 6abc

Do đó (1) đúng khi a = b = c.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Từ khóa :

Giải bài tập

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

295

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

315

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

343

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

290

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.