Cho biểu thức P: Rút gọn P, Tìm x để P

Cho biểu thức P: Rút gọn P, Tìm x để P < 1.

Ngọc Nguyễn Ngày: 20-05-2023 Tổng hợp kiến thức

704

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 9) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho biểu thức P: Rút gọn P, Tìm x để P < 1.

Câu 30: Cho biểu thức $P = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} : (\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - x})$ .

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P < 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 2.

Lời giải:

a) $P = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1} : (\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^{2}}{x^{2} - x})$

$= \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : [\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{2 - x^{2}}{x (x - 1)}] = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : [\frac{(x + 1) (x - 1) + x + 2 - x^{2}}{x (x - 1)}] = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} : \frac{x + 1}{x (x - 1)} = \frac{x (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} . \frac{x (x - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

b) Ta có $P < 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x - 1} < 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}}{x - 1} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0$ (vì ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0, \forall x \in ℝ$ ).