Giải phương trình: sin3 x + cos3 x − sin x − cos x = cos 2x.

Ngọc Nguyễn Ngày: 21-05-2023 Tổng hợp kiến thức

226

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 11) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Giải phương trình: sin3 x + cos3 x − sin x − cos x = cos 2x.

Câu 44: Giải phương trình: sin³ x + cos³ x − sin x − cos x = cos 2x.

Lời giải:

Ta có sin³ x + cos³ x − sin x − cos x = cos 2x

(sin x + cos x)(sin² x − sin x.cos x + cos² x) − (sin x + cos x) − (cos² x − sin² x) = 0

(sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) − (sin x + cos x) − (sin x + cos x)(cos x − sin x) = 0

(sin x + cos x)(1 − sin x.cos x − 1 − cos x + sin x) = 0

(sin x + cos x)(− sin x.cos x − cos x + sin x) = 0

• TH1: sin x + cos x = 0

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$

• TH2: − sin x.cos x − cos x + sin x = 0 (1)

Đặt t = sin x − cos x; t Î (−2; 2)

$\Rightarrow \frac{t^{2} - 1}{2} = - \sin x . \cos x$

Phương trình (1) Û $t + \frac{t^{2} - 1}{2} = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 1 = 0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 + \sqrt{2} (T M) \\ t = - 1 - \sqrt{2} (K T M) \end{array} \Rightarrow \sin x - \cos x = - 1 + \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{4}) = - \sqrt{2} + 1 \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + arc c o s \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} - arc c o s \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$