Giải phương trình: căn 2 (sinx + cosx) -1 = sinx.cosx

Ngọc Nguyễn Ngày: 19-07-2023 Tổng hợp kiến thức

232

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 15) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Giải phương trình: căn 2 (sinx + cosx) -1 = sinx.cosx

Câu 32: Giải phương trình: $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) - 1 = \sin x . \cos x$ .

Lời giải:

$\sqrt{2} (\sin x + \cos x) - 1 = \sin x . \cos x$ (1)

Đặt t = sinx + cosx, $t \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

$\Rightarrow t^{2} - 1 = 2 \sin x . \cos x$

(1) $\Leftrightarrow \sqrt{2} t - 1 = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2 \sqrt{2} t + 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = \sqrt{2} + 1$ (loại) hay $t = \sqrt{2} - 1$ (nhận)

$\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{2} - 1$

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + \arcsin (\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}) + k 2 π$ hay $x = \frac{3 π}{4} - \arcsin (\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}) + k 2 π (k \in ℤ)$ .