Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz

Ngọc Nguyễn Ngày: 05-06-2023 Tổng hợp kiến thức

153

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 21) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz

Câu 23: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh

$\frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{x} + \frac{1 + \sqrt{1 + y^{2}}}{y} + \frac{1 + \sqrt{1 + z^{2}}}{z} \leq x y z$

Lời giải:

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có $\{\begin{cases} 2 x y \leq x^{2} + y^{2} \\ 2 y z \leq y^{2} + z^{2} \\ 2 z x \leq z^{2} + x^{2} \end{cases}$

⇒ 2(xy + yz + zx) ≤ 2(x² + y² + z²)

⇔ xy + yz + zx ≤ x² + y² + z²

⇔ 3(xy + yz + zx) ≤ x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

⇔ 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)²

$\Leftrightarrow x y + y z + z x \leq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{3}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $\frac{4 + (1 + x^{2})}{2} \geq \sqrt{4 (1 + x^{2})}$

Ta có

$\frac{1 + \sqrt{1 + x^{2}}}{x} = \frac{2 + \sqrt{4 (1 + x^{2})}}{2 x} \leq \frac{2 + \frac{4 + (1 + x^{2})}{2}}{2 x} = \frac{4 + 4 + (1 + x^{2})}{4 x} = \frac{9 + x^{2}}{4 x}$ .

Chứng minh tương tự, ta có $\frac{1 + \sqrt{1 + y^{2}}}{y} \leq \frac{9 + y^{2}}{4 y}$ và $\frac{1 + \sqrt{1 + z^{2}}}{z} \leq \frac{9 + z^{2}}{4 z}$ .