Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Q

Ngọc Nguyễn Ngày: 06-06-2023 Tổng hợp kiến thức

135

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 23) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Q

Câu 44: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

$Q = \frac{x}{x + \sqrt{x + y z}} + \frac{y}{y + \sqrt{y + z x}} + \frac{z}{z + \sqrt{z + x y}}$ .

Lời giải:

Ta có: x + yz = x(x + y + z) + yz

= x² + yz + x(y + z) = A

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

A $\geq 2 x \sqrt{y z} + x (y + z) (x^{2} + y z \geq 2 \sqrt{x^{2} y z}) = x {(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}$ .

Hay $x + y z \geq x {(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}$ .

Tương tự ta có: $y + z x \geq y {(\sqrt{z} + \sqrt{x})}^{2}$ ;

$z + x y \geq z {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}$ .

Khi đó ta có:

$P \leq \frac{x}{x + \sqrt{x {(\sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2}}} + \frac{y}{y + \sqrt{y {(\sqrt{z} + \sqrt{x})}^{2}}} + \frac{z}{z + \sqrt{z {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}}}$

$= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} + \sqrt{z} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z} + \sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}} = 1$