Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 26) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Chứng minh 1 . 2 + 2 . 5 + 3 . 8 + .... + n(3n – 1) = n2 (n+1) với mọi n thuộc N*.
Câu 41: Chứng minh 1 . 2 + 2 . 5 + 3 . 8 + .... + n(3n – 1) = n2 (n+1) với mọi n thuộc N*.
Lời giải:
1 . 2 + 2 . 5 + 3 . 8 + .... + n(3n – 1) = n2 (n + 1) (*)
+) Với n = 1
Vế trái của (*) = 2, vế phải của (*) = 12 (1 + 1 ) = 2
Suy ra (*) đúng với n = 1
Giả sử (*) đúng với n = k (k ∈ N*) , ta có:
1 . 2 + 2 . 5 + ... + k(3k – 1) = k2(k + 1) (1)
Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, thật vậy:
1 . 2 + 2 . 5 + ... + k(3k – 1) + (k + 1)[3(k + 1) – 1] = k2 (k + 1) + (k + 1)[3(k + 1) – 1]
⇔ 1 . 2 + 2 . 5 + ... + k(3k – 1) + (k + 1)[3(k + 1) –1] = (k + 1)(k2 + 3k +2)
⇔ 1 . 2 + 2 . 5 + ... + k(3k – 1) + (k + 1)[3(k + 1) –1] = (k + 1)(k2 + k + 2k + 2)
⇔ 1 . 2 + 2 . 5 + ... + k(3k – 1) + (k + 1)[3(k + 1) –1] = (k + 1)[k(k + 1) + 2(k +1)]
⇔ 1 . 2 + 2 . 5 + ... + k(3k – 1) + (k + 1)[3(k + 1) –1] = (k + 1)2(k + 2)
Suy ra (*) đúng với n = k + 1 , theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*
Vậy 1 . 2 + 2 . 5 + 3 . 8 + .... + n(3n – 1) = n2 (n+1) với mọi n thuộc N* .
Bài viết cùng bài học:
