Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 26) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và tiếp tuyến Ax.
Câu 39: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao
điểm của CO và AD là I.
a) Chứng minh: CO ⊥ AD.
b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE . CB = CI . CO.
c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi
điểm C di chuyển trên Ax.
Lời giải:
a) Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CA và CD
Nên CA = CD
Suy ra C thuộc đường trung trực của AD (1)
Vì A, D cùng thuộc (O) nên OA = OD
Suy ra O thuộc đường trung trực của AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CO ⊥ AD
b) Xét tam giác vuông ACO có CO ⊥ AI
Suy ra CI . CO = AC2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Vì tam giác AEB nội tiếp (O), AB là đường kính
Nên tam giác AEB vuông tại E
Suy ra AE ⊥ BE
Xét tam giác vuông ACB có AE ⊥ BC
Suy ra CE . CB = AC2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà CI . CO = AC2 (chứng minh trên)
Suy ra CE . CB = CI . CO
Vậy CE . CB = CI . CO
c) Vì H là trực tâm tam giác ACD nên AH ⊥ CD, AC ⊥ DH, CH ⊥ AD
Vì AC ⊥ DH, AC ⊥ AB nên DH // AB
Vì AH ⊥ CD, DO ⊥ CD nên AH // DO
Xét tứ giác AHDO có AH // DO, DH // AO (chứng minh trên)
Suy ra AHDO là hình bình hành
Mà AD cắt HO tại I
Do đó I là trung điểm của HO
Trên tia đối của tia AO lấy G sao cho GA = AO
Xét tam giác GHO có A là trung điểm của OG, I là trung điểm của HO
Nên AI là đường trung bình
Suy ra AI // GH
Mà AI ⊥ CO nên GH ⊥ CO
Suy ra
Do đó H thuộc đường tròn đường kính OG
Vậy khi C di chuyển trên Ax thì H di chuyển trên đường tròn tâm A bán bính AO cố định.
Bài viết cùng bài học:
