Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Ngọc Nguyễn Ngày: 09-06-2023 Tổng hợp kiến thức

220

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 36) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Câu 35: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = cos⁴x – cos²x + sin²x;

b) B = sin⁴x – sin²x + cos²x.

Lời giải:

a) A = cos⁴x – cos²x + sin²x

= cos⁴x – cos²x + 1 – cos²x

= cos⁴x – 2cos²x + 1

= (cos²x – 1)²

= (–sin²x)²

= sin⁴x.

Ta có –1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ sin⁴x ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ A ≤ 1, ∀x.

Dấu “=” xảy ra

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x = 1 \\ \sin x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{π}{2} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy maxA = 1 khi và chỉ khi $x = \frac{π}{2} + k π$ và minA = 0 khi và chỉ khi x = kπ (k ∈ ℤ).

b) B = sin⁴x – sin²x + cos²x

= sin⁴x – sin²x + 1 – sin²x

= sin⁴x – 2sin²x + 1

= (sin²x – 1)²

= (–cos²x)²

= cos⁴x.

Ta có –1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ cos⁴x ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ B ≤ 1, ∀x.

Dấu “=” xảy ra

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \\ \cos x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k π \end{array} (k \in ℤ)$