Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 63) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Chứng minh rằng a^5 – a chia hết cho 30
Câu 33: Chứng minh rằng a5 – a chia hết cho 30.
Lời giải:
a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1) = a(a – 1)(a + 1)(a2 – 4 + 5)
= a(a – 1)(a + 1)(a2 – 4) + 5a(a – 1)(a + 1)
= a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1)
Do a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2; 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5
⇒ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia hết cho 30
Mặt khác, a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 6
⇒ 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30
⇒ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30
Vậy a5 – a chia hết cho 30.
Bài viết cùng bài học:
