Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n^7

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n^7 – n chia hết cho 7

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 60) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n^7 – n chia hết cho 7

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7.

Lời giải:

Đặt A_n = n⁷ – n.

Khi n = 1 thì A₁ = 0 và chia hết cho 7.

Giả sử đã có A_k = (k⁷ – k) ⋮ 7 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh A_{k + 1}⋮ 7, tức là (k + 1)⁷ – (k + 1) ⋮ 7.

Áp dụng công thức Nhị thức Niu – tơn ta có:

A_{k + 1}= (k + 1)⁷ – (k + 1)

= k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k⁴ + 35k³ + 21k² + 7k + 1 – k – 1

= k⁷ – k + 7(k⁶ + 3k⁵ + 5k⁴ + 5k³ +3k² + k).

Theo giả thiết quy nạp thì A_k= k⁷ – k chia hết cho 7, do đó A_{k + 1}⋮ 7.

Vậy n⁷ – n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.

Xem thêm các bài giải Tổng hợp kiến thức môn Toán hay, chi tiết khác:

Câu 1: Chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với n thuộc mọi số tự nhiên.

Câu 2: Cúc đang làm một phép tính mà khi nhân 342 với 1 số có 2 chữ số giống nhau, Cúc đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên Cúc đã tìm ra kết quả ít hơn tích đúng là 12312. Tìm số có 2 chữ số giống nhau đó.

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7.

Câu 4: Bỏ ngoặc rồi tính: 25 – (−17) + 24 – 12.

Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng 18π. Tính diện tích xung quanh S_xq của hình trụ.

Câu 6: Cho tam giác ABC có A(−5; 6), B(1; −3), C(−1; 1). Tìm tọa độ trung điểm H của BC.

Câu 7: Làm phép tính sau: 2 357 × 24.

Câu 8: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 38m, chiều rộng bằng chiều dài, trong đó diện tích đất làm nhà chiếm 25%. Tính: a) Diện tích của mảnh đất đó.

Câu 9: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 40m, chiều rộng bằng 1/2 chiều dài, trong đó diện tích đất làm nhà chiếm 30%. Tính: a) Diện tích của mảnh đất đó.

Câu 10: Để lát nền một căn phòng có dạng hình vuông có chu vi là 80 dm. Người ta phải dùng các viên gạch hình vuông để lát, mỗi viên gạch có độ dài cạnh 2 dm và có giá là 25 000 đồng/viên. Tính số viên gạch cần dùng và số tiền mua gạch để lát nền căn phòng đó.

Câu 11: Một khu đất hình chữ nhật có diện tích 256 m², chiều rộng là 8 m. Xung quanh khu đất người ta đóng cọc để rào xung quanh, biết rằng khoảng cách giữa hai cọc liền nhau là 4 m. Hỏi cần bao nhiêu cọc để đủ rào xung quanh khu đất đó.

Câu 12: Nếu gửi tiết kiệm theo kì hạn là 12 tháng thì lãi suất hàng tháng là 0,7%. Hỏi 1 người gửi 50 000 000 đồng trong 1 năm thì thu được bao nhiêu tiền lãi? (Tiền lãi của tháng không được cộng vào tiền gửi).

Câu 13: Bạn Sơn tạo các hình bằng những chiếc tăm giống nhau theo sơ đồ nhứ hình trên (Hình thứ n có n² ô vuông giống nhau và mỗi cạnh hình vuông là một chiếc tăm). Hỏi Sơn phải thêm bao nhiêu chiếc tăm vào hình thứ 2018 để được hình thứ 2019.

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là:

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Giao tuyến của mp(SAD) và mp(SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào trong số các đường thẳng sau?

Câu 16: Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.