Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 là bình phương của một số hữu tỉ

Ngọc Nguyễn Ngày: 30-08-2023 Tổng hợp kiến thức

283

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 67) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 là bình phương của một số hữu tỉ

Câu 40: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ là bình phương của một số hữu tỉ.

Lời giải:

Ta có

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} - 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) = {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} - 2. \frac{c + a + b}{a b c} = {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} - 2. \frac{0}{a b c} = {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2}$