Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 74) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Cho n ∈ ℤ, chứng minh A = n^4 – 4n^3 – 4n^2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn
Câu 19: Cho n ∈ ℤ, chứng minh A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn.
Lời giải:
A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n
A = n(n3 – 4n2 – 4n + 16)
A = n(n – 4)(n2 – 4) (1)
Vì n là số chẵn nên n = 2k (k là số nguyên dương) thay vào (1), ta được:
A = 2k(2k – 4)(4k2 – 4)
A = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1)
A = 16(k – 2)(k – 1)k(k + 1) (2)
Do (k – 2)(k – 1)k(k + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên tích này luôn chia hết cho 3 và 8, mà ƯC(3, 8) = 1 nên (k – 2)(k – 1)k(k + 1) chia hết cho 24 (3)
Từ (2) và (3), suy ra A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n chia hết cho 384.
Bài viết cùng bài học:
