Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 77) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log2(4x + 4) + x = y + 1 + 2^y
Câu 20: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log2(4x + 4) + x = y + 1 + 2y?
Lời giải:
log2(4x + 4) +x = y + 1 + 2y
⇔ log2[4(x + 1)] + x = y + 1 + 2y
⇔ log24 + log2(x + 1) + x = y + 1 + 2y
⇔ log2(x + 1) + 2 + x = 2y + y + 1 (*)
Xét f(a) = 2a + a + 1
f'(a) = 2a. ln2 + 1 > 0
Suy ra f(a) là hàm số đồng biến trên R
Phương trình (*) tương đương với:
f(log2(x+1)) = f(y)
⇒ log2(x + 1) = y
⇔ x + 1 = 2y
⇔ x = 2y – 1
Do 0 ≤ x ≤ 2020 suy ra: 0 ≤ 2y – 1 ≤ 2020
⇔ 1 ≤ 2y ≤ 2021
⇔ 0 ≤ y ≤ 10,98
Vậy y ∈ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} (có 11 số nguyên y)
Tương ứng có 11 số nguyên x
Vậy có 11 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn.
Bài viết cùng bài học:
