Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 48) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Chứng minh rằng: (x^m + x^n + 1) chia hết cho x^2 + x + 1 khi và chỉ khi (mn – 2) chia hết cho 3
Câu 8: Chứng minh rằng: (xm + xn + 1) chia hết cho x2 + x + 1 khi và chỉ khi (mn – 2) chia hết cho 3.
Lời giải:
Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2
n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2
Ta có: xm + xn + 1
= x3k+r + x3t+s + 1
= x3kxr – xr + x3txs – xs + xr + xs + 1
= xr (x3k – 1) + xs (x3t – 1) + xr + xs + 1
Ta thấy: (x3k – 1) ⋮ (x2 + x + 1) và (x3t – 1) ⋮ (x2 + x + 1)
Vậy để (xm + xn + 1) ⋮ x2 + x + 1 thì (xr + xs + 1) ⋮ (x2 + x + 1) với 0 ≤ r, s ≤ 2
Hay khi:
⇔
⇔
Suy ra: mn – 2 ⋮ 3.
Xem thêm các bài giải Tổng hợp kiến thức môn Toán hay, chi tiết khác:
Câu 1: A = 2 + 22 + 23 + … + 2100. Tìm x biết 2(A + 2) = 22x.
Câu 2: 1 con bò nặng 4/7 con bò đó và 9 yến. Hỏi con bò đó nặng bao nhiêu tạ, bao nhiêu kg?
Câu 4: Một viên gạch hình vuông cạnh 40 cm. Tính diện tích 10 viên gạch đó?
Câu 6: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết 21, a chia hết 35 và a chia hết 99.
Câu 7: Tìm số tự nhiên x sao cho 10 chia hết cho x – 1.
Câu 10: Tìm x, y thuộc ℕ biết: 36 – y2 = 8(x – 2010)2.
Câu 11: Tìm các số tự nhiên n sao cho 3n + 7 chia hết cho n – 2 .
Câu 12: Cho a – b = 10. Hãy tính A = (2a – 3b)2 + 2(2a – 3b)(3a – 2b) + (2b – 3a)2.
Câu 13: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có 11n+1 + 122n–1 chia hết cho 133.
Câu 14: Chứng minh rằng A = 7 + 72 + 73 +.. + 7100 chia hết cho 50.
Câu 15: Thu gọn tổng sau A = 2 + 22 + 23 + … + 2100.
Câu 16: Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố ( p > 5 ). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số?
Câu 17: Rút gọn biểu thức: 3 (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1).
Câu 18: Số 2021 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố được không? Vì sao?
Bài viết cùng bài học:
