Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 77) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Chứng minh rằng: A = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ
Câu 4: Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.
Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ta có
A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3
= n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8
= 3n3 + 9n2 + 15n + 9
= 3(n3 + 5n) + 9(n2 + 1)
Vậy để chứng minh A chia hết cho 9 thì ta sẽ chứng minh 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 hay n3 + 5n3 chia hết cho 3.
Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên n3 + 5n = n(n2 + 5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.
Giả sử n chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 1. Thay vào ta có
n3 + 5n = n(n2 + 5)
= (3k + 1)[(3k + 1)2 + 5]
= (3k + 1)(9k2 + 6k + 1 + 5)
= (3k + 1)(9k2 + 6k + 6)
= (3k + 1).3.(3k2 + 2k + 2)
Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.
Với n chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 2. Thay vào ta có
n3 + 5n = n(n2 + 5)
= (3k + 2)[(3k + 2)2 + 5]
= (3k + 2)(9k2 + 12k + 4 + 5)
= (3k + 2)(9k2 + 12k + 9)
= (3k + 2).3.(3k2 + 4k + 3)
Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.
Vậy trong mọi trường hợp với n, A đều chia hết cho 9.
Xem thêm các bài giải Tổng hợp kiến thức môn Toán hay, chi tiết khác:
Câu 1: Điền vào chỗ trống: 789g = …kg.
Câu 2: Tìm x biết: 6x2 – (2x – 3)(3x + 2) – 1 = 0.
Câu 3: Tính tổng A = 3 + 6 + 12 + 24 + … + 3072.
Câu 4: Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.
Câu 7: Tìm hệ số của x15 trong khai triển (x2 + 8)12.
Câu 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x4 + 4y4.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.
