Tìm hệ số của x6 trong khai triển ((1/x +x)^3)^3n+1 với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 10) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Tìm hệ số của x6 trong khai triển ((1/x +x)^3)^3n+1 với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Câu 6: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2}$ .

A. 210

B. 252

C. 120

D. 45

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: n≥ 2

Ta có:

$\begin{array}{l} 3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} \\ \Leftrightarrow 3. \frac{(n + 1)!}{(n - 1)! .2!} + 2 n = 4. \frac{n!}{(n - 2)!} \\ \Leftrightarrow \frac{3}{2} n (n + 1) + 2 n = 4 n (n - 1) \\ \Leftrightarrow 3 (n + 1) + 4 = 8 (n - 1) \\ \Leftrightarrow 3 n + 3 + 4 = 8 n - 8 \\ \Leftrightarrow 5 n = 15 \Leftrightarrow n = 3 \end{array}$

Với n = 3, theo khai triển nhị thức Newton ta có:

${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 - k} . {(x^{3})}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . \frac{x^{3 k}}{x^{10 - k}} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{4 k - 10}$

Hệ số của số hạng chứa x⁶ ứng với 4k – 10 = 6 ⇒ k = 4

Hệ số cần tìm là: $C_{10}^{4} = 210$

Xem thêm các bài giải Tổng hợp kiến thức môn Toán hay, chi tiết khác:

Câu 1: Cho A = (0,2) và B = (1,4), tìm C_R(A ∪ B) và C_R(A ∩ B).

Câu 2: Tìm A∩B, A∪B, A\B, B\A, C_RA, C_RB, C_R(A∩B), C_R(A∪B), C_RA∩C_RB, C_RA∪C_RB trong trường hợp sau đây: A = [–8; 1] ∪ [4; 7] và B = (–∞; 2)

Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 4: Giải phương trình: sin³x + cos³x = 0

Câu 5: Cho sinx + cosx. Tính giá trị của biểu thức A = sin³x + cos³x

Câu 6: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Câu 7: Phân tích đa thức ab(a + b) – bc(b + c) – ac(c – a) thành nhân tử, ta được

Câu 8: Cho biểu thức, Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.

Câu 9: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm, có vô số nghiệm: