Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Ngọc Nguyễn Ngày: 21-05-2023 Tổng hợp kiến thức

276

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 10) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Câu 11: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$\frac{a}{b^{2} + 1} = a - \frac{a b^{2}}{b^{2} + 1} \geq a - \frac{a b^{2}}{2 b} = a - \frac{a b}{2} \frac{b}{c^{2} + 1} = b - \frac{b c^{2}}{c^{2} + 1} \geq b - \frac{b c^{2}}{2 c} = b - \frac{c b}{2} \frac{c}{a^{2} + 1} = c - \frac{c a^{2}}{a^{2} + 1} \geq c - \frac{c a^{2}}{2 a} = c - \frac{a c}{2}$

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

$\frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq a + b + c - (\frac{a b + b c + a c}{2})$

Ta có: $a b + b c + a c \leq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$\Rightarrow \frac{a}{b^{2} + 1} + \frac{b}{c^{2} + 1} + \frac{c}{a^{2} + 1} \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Xem thêm các bài giải Tổng hợp kiến thức môn Toán hay, chi tiết khác:

Câu 1: Cho A = (0,2) và B = (1,4), tìm C_R(A ∪ B) và C_R(A ∩ B).

Câu 2: Tìm A∩B, A∪B, A\B, B\A, C_RA, C_RB, C_R(A∩B), C_R(A∪B), C_RA∩C_RB, C_RA∪C_RB trong trường hợp sau đây: A = [–8; 1] ∪ [4; 7] và B = (–∞; 2)

Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 4: Giải phương trình: sin³x + cos³x = 0

Câu 5: Cho sinx + cosx. Tính giá trị của biểu thức A = sin³x + cos³x

Câu 6: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Câu 7: Phân tích đa thức ab(a + b) – bc(b + c) – ac(c – a) thành nhân tử, ta được