Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 97) hay nhất được biên soạn và chọn lọc giúp bạn ôn luyện và đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán.
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADM là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh DE = .
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Lời giải:
a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC
Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay
Xét tứ giác ADME có
Suy ra ADME là hình chữ nhật.
b) Xét ΔABC vuông tại A có M là trung điểm BC
Suy ra AM =
Vì ADME là hình chữ nhật có AM, DE là hai đường chéo, suy ra AM = DE
Mà AM =
Do đó DE = .
c) Ta có AD ⊥ AC và ME ⊥ AC, suy ra AD // ME
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra E là trung điểm của AC
Xét tam giác AMC có E, Q lần lượt là trung điểm của AC, MC
Suy ra QE là đường trung bình
Do đó QE // AM, QE = (1)
Ta có DM ⊥ AB và AB ⊥ AC
Suy ra DM // AC
Mà M là trung điểm của BC
Suy ra D là trung điểm của AB
Xét ΔBAM có D, P lần lượt là trung điểm của AB và BM
Suy ra DP là đường trung bình của ΔBAM
Do đó DP // AM và DP = (2)
Từ (1) và (2) suy ra DP // EQ, DP = EQ
Do đó DPQE là hình bình hành.
Gọi O là tâm đối xứng của DPQE (là giao điểm 2 đường chéo)
Ta có P, Q lần lượt là trung điểm của BM, MC và M là trung điểm BC
Suy ra M là trung điểm PQ
Xét hình bình hành DPQE có AM // DP và M là trung điểm PQ
Suy ra AM là đường trung bình của DPQE
Do đó AM đi qua trung điểm DE, gọi điểm đó là F
Từ đó AM là trục đối xứng của DPQE tức là đi qua O
Vậy tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì
Ta xét ΔBAM nếu DP ⊥ BM thì AM ⊥ BM
Xét ΔABC có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Suy ra ΔABC vuông cân tại A
Vậy để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật thì tam giác vuông ΔABC cần thêm điều kiện cân tại A.
Xem thêm các bài giải Tổng hợp kiến thức môn Toán hay, chi tiết khác:
Câu 2: Tính giá trị biểu thức: .
Câu 6: Chứng minh rằng n(n + 13) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.
Câu 7: Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có: cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosA.cosB.cosC
Câu 8: Cho biểu thức B = . Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.
Câu 9: Điền số thích hợp vào chỗ chấm
Câu 11: Không thực hiện tính tổng, chứng minh rằng A = 2 + 22 + 23 + … + 220 chia hết cho 5.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.
